Álgebra Linear

Matrizes

Uma matriz pode ser definida como uma coleção de elementos e cada elemento possui uma posição definida através dos indicadores i e j, sendo i o indicador para a linha e j o indicador para a coluna. Os valores possíveis para i, j são valores naturais¹ (i, j ∈ ℕ = {1, 2, 3, ...}), ou inteiros positivos diferente de zero (i, j ∈ ℤ₊^* = {1, 2, 3, ...}). A representação de um elemento é dada por:

$$\begin{aligned} a_{ij} \end{aligned}$$

no caso acima, o elemento possui o nome a com uma posição qualquer i , j. Os nomes dos elementos costumam seguir o mesmo nome da matriz que os contém, mas em letra minúscula. Assim, se a matriz tiver o nome 𝔸 seus elementos serão a_ij, se a matriz se chamar 𝔹 seus elementos serão b_ij e assim sucessivamente. Os nomes das matrizes são em letras maiúsculas com uma barra dupla em sua construção. Existem, também, os indicadores para as matrizes; esses indicadores são chamados de Ordem da matriz, ou seja, representa o número de linhas e de colunas. Logo, uma matriz chamada A com 2 linhas e 3 colunas é escrita da seguinte forma:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2\mathrm{{x}}3}=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] \end{aligned}$$

Desse modo temos a representação de uma matriz e de todos os seus elementos. É possível verificar que o número de elementos da matriz é 6. De modo geral, o número de elementos (#_elementos) de uma matriz será o resultado da multiplicação do número de linhas pelo número de colunas, assim:

$$\begin{aligned} \#_{elementos}=i\cdot j \end{aligned}$$

Determine o número de elementos da matriz 𝔸_3x5.
Na matriz do enunciado tem-se i = 3 (linhas) e j = 5 (colunas). Logo, o número de elementos dessa matriz será i ⋅ j = 3 ⋅ 5 = 15 elementos

Considere a matriz

$$\begin{aligned} \mathbb{B}_{3\mathrm{x}2} & =\begin{bmatrix}3 & 7\\ 1 & 6\\ 10 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

escreva todos os elementos colocando sua posição corretamente.

Como o nome da matriz dada é 𝔹, os elementos serão escritos pela letra minúscula do nome da matriz, ou seja, os elementos serão b_ij.

O primeiro elemento está na linha 1 e coluna 1, então: b₁₁ = 3
O segundo elemento está na linha 1 e coluna 2, então: b₁₂ = 7
O terceiro elemento está na linha 2 e coluna 1, então: b₂₁ = 1
O quarto elemento está na linha 2 e coluna 2, então: b₂₂ = 6
O quinto elemento está na linha 3 e coluna 1, então: b₃₁ = 10
O sexto elemento está na linha 3 e coluna 2, então: b₃₂ = 4

As representações das matrizes podem ser da seguinte forma, ainda:

$$\begin{aligned} \mathbb{M}_{2}\quad\mathrm{ou}\quad\mathbb{M}_{3}\quad\mathrm{ou\quad\mathbb{M}_{4}\,...} \end{aligned}$$

Nesse caso, as matrizes são chamadas de matrizes quadradas pois elas possuem o número de linhas igual ao número de colunas, ou seja, i = j. O primeiro caso é uma matriz quadrada de ordem 2, a segunda é uma matriz quadrada de ordem 3, a terceira é uma matriz quadrada de ordem 4, e assim sucessivamente.

Matriz de segunda ordem, ou matriz quadrada de ordem 2:

$$\begin{aligned} \mathbb{B}_{2}=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Matriz quadrada de ordem 3:

$$\begin{aligned} \mathbb{B}_{3}=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Igualdade entre matrizes

Duas, ou mais, matrizes são iguais quando, nas respectivas posições, todos os elementos são iguais.

Considere as matrizes

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 6 & 5 & 4 \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{e\,\,\,\,\,\,\,\mathbb{B}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 6 & 5 & 4 \end{bmatrix}} \end{aligned}$$

As matrizes 𝔸 e 𝔹 são iguais, pois a₁₁ = b₁₁ = 1 e a₁₂ = b₁₂ = 2 e a₁₃ = b₁₃ = 3 e a₂₁ = b₂₁ = 6 e a₂₂ = b₂₂ = 5 e a₂₃ = b₂₃ = 4

Considere as matrizes

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 6 & 5 & 4 \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{e\,\,\,\,\,\,\mathbb{B}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 6 & 5 & 2 \end{bmatrix}} \end{aligned}$$

As matrizes 𝔸 e 𝔹 NÃO são iguais. Embora a₁₁ = b₁₁ = 1 e a₁₂ = b₁₂ = 2 e a₁₃ = b₁₃ = 3 e a₂₁ = b₂₁ = 6 e a₂₂ = b₂₂ = 5, tem-se que a₂₃ ≠ b₂₃

Determine os valores de x e y de modo que as matrizes abaixo sejam iguais:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2}=\begin{bmatrix}1 & x+10\\ 3 & 5 \end{bmatrix}\quad\mathrm{e}\quad\mathbb{B}_{2}=\begin{bmatrix}1 & 25\\ y-7 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Analisando as matrizes, verifica-se que a₁₁ = b₁₁ = 1 e a₂₂ = b₂₂ = 5. O elemento a₁₂ = x + 10 e b₁₂ = 25 devem ser iguais, ou seja:

$$\begin{aligned} a_{12} &= b_{12} \\ x+10 &= 25 \\ x+10-10 &= 25-10 \\ x &= 15 \\ \end{aligned}$$

De modo análogo, o elemento a₂₁ = 3 e b₂₁ = y − 7 devem ser iguais, assim:

$$\begin{aligned} a_{21} &=b_{21} \\ 3 &=y-7 \\ 3+7 &=y-7+7 \\ 10 &=y \\ \end{aligned}$$

Substituindo os valores calculados, x e y, tem-se:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2} &= \mathbb{B}_{2}\\ \begin{bmatrix}1 & 15+10\\ 3 & 5 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}1 & 25\\ 10-7 & 5 \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1 & 25\\ 3 & 5 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}1 & 25\\ 3 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Adição e subtração de matrizes

A adição, ou subtração, de matrizes só podem ser feitas se a(s) matriz(es) possuir/possuírem a mesma ordem. Assim, 𝔸_ixj e 𝔹_ixj podem ser somadas e/ou subtraídas da seguinte maneira:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{i\mathrm{x}j}\pm\mathbb{B}_{i\mathrm{x}j} & = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} \end{bmatrix}\pm\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1j}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{ij} \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & \cdots & a_{1j}\pm b_{1j}\\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} & \cdots & a_{2j}\pm b_{2j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1}\pm b_{i1} & a_{i2}\pm b_{i2} & \cdots & a_{ij}\pm b_{ij} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Considere as matrizes abaixo e efetue a adição entre elas, ou seja, 𝔸 + 𝔹

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 3 & -5\\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix}\qquad\mathrm{e}\qquad\mathbb{B}_{2\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 6\\ -2 & 4 & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Partindo das matrizes dadas, podemos escrever:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{2\mathrm{x}3}+\mathbb{B}_{2\mathrm{x}3} & =\\ \begin{bmatrix}1 & 3 & -5\\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 5 & 6\\ -2 & 4 & 10 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}1+3 & 3+5 & -5+6\\ 2+(-2) & 6+4 & 4+10 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}4 & 8 & 1\\ 0 & 10 & 14 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

https://www.youtube.com/watch?v=VeP6FNgG9bg

Multiplicação de um escalar por uma matriz

Esse tipo de multiplicação pode ser entendido como um número multiplicando uma matriz, sendo assim, matematicamente, basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo número que está multiplicando a matriz.

Nesse momento a notação se faz necessária, pois numa expressão do tipo x ⋅ y não fica evidente quem é a matriz e quem é o escalar, ou se são duas matrizes, ou se são dois escalares! Então dado um escalar a e uma matriz 𝔸_ij a multiplicação pode ser escrita como:

$$\begin{aligned} a\cdot\mathbb{A}_{i\mathrm{x}j} & = a\cdot\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}a\cdot a_{11} & a\cdot a_{12} & \cdots & a\cdot a_{1j}\\ a\cdot a_{21} & a\cdot a_{22} & \cdots & a\cdot a_{2j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a\cdot a_{i1} & a\cdot a_{i2} & \cdots & a\cdot a_{ij} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Embora seja um pouco confuso, devido a quantidade de letras “a”, isso foi escolhido propositalmente para o entendimento de um conceito: o escalar a é diferente de todos os elementos da matriz pois não possui indicadores, ou seja, subíndice.

Calcule o valor de 2 ⋅ 𝔸 + 4 ⋅ 𝔹 sendo

Para calcular, basta substituir os valores das matrizes, multiplicar pelo escalar e somar as matrizes. Mesmo sabendo o procedimento para calcular a expressão dada, é importante verificar a ordem das matrizes envolvidas na expressão, pois após a multiplicação pelo escalar, haverá uma soma e, como visto anteriormente, só é possível somar matrizes se elas forem da mesma ordem!

$$\begin{aligned} 2\cdot\mathbb{A}+4\cdot\mathbb{B} & =\\ 2\cdot\begin{bmatrix}1 & 3 & -5\\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix}+4\cdot\begin{bmatrix}3 & 5 & 6\\ -2 & 4 & 10 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}2\cdot1 & 2\cdot3 & 2\cdot(-5)\\ 2\cdot2 & 2\cdot6 & 2\cdot4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\cdot3 & 4\cdot5 & 4\cdot6\\ 4\cdot(-2) & 4\cdot4 & 4\cdot10 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}2 & 6 & -10\\ 4 & 12 & 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12 & 20 & 24\\ -8 & 16 & 40 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}2+12 & 6+20 & -10+24\\ 4+(-8) & 12+16 & 8+40 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}14 & 26 & 14\\ -4 & 28 & 48 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Multiplicação entre matrizes

Nesse momento é necessário fazer uma análise mais criteriosa sobre as matrizes. A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa, ou seja, 𝔸 ⋅ 𝔹 ≠ 𝔹 ⋅ 𝔸. Outro ponto importante na multiplicação entre matrizes é que dada duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim, sejam as matrizes 𝔸_ixj e 𝔹_nxm, a multiplicação 𝔸 ⋅ 𝔹 existirá se, se somente se, j = n e a multiplicação 𝔹 ⋅ 𝔸 existirá se, e somente se, m = i.

Calcule 𝔸 ⋅ 𝔹 para as matrizes abaixo:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{1\mathrm{x}3}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}\quad\mathrm{e}\quad\mathbb{B}_{3\mathrm{x}2}=\begin{bmatrix}3 & 4\\ 2 & 6\\ 5 & 8 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

A primeira matriz é a matriz 𝔸 e a segunda matriz é a 𝔹. Analisando o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz, verifica-se que são iguais a 3, logo, existe a multiplicação proposta no enunciado. Calculando-a:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}_{1\mathrm{x}3}\cdot\mathbb{B}_{3\mathrm{x}2} & =\\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3 & 4\\ 2 & 6\\ 5 & 8 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}1\cdot3+2\cdot2+3\cdot5 & 1\cdot4+2\cdot6+3\cdot8\end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}3+4+15 & 4+12+24\end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}22 & 40\end{bmatrix}_{1\mathrm{x}2} \end{aligned}$$

é possível verificar que a matriz resultante possui a ordem 1x2 que é, exatamente, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

https://www.youtube.com/watch?v=VeP6FNgG9bg

Calcule a multiplicação 𝕄 ⋅ ℕ sendo

$$\begin{aligned} \mathbb{M}_{2}=\begin{bmatrix}-3 & 6\\ 2 & 7 \end{bmatrix}\quad\mathrm{e}\quad\mathbb{N}_{2}=\begin{bmatrix}2 & -1\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Como as matrizes são quadradas de ordem 2, é possível a multiplicação proposta no enunciado, logo

$$\begin{aligned} \mathbb{M}\cdot\mathbb{N} & = \begin{bmatrix}-3 & 6\\ 2 & 7 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & -1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}(-3)\cdot2+6\cdot4 & (-3)\cdot(-1)+6\cdot3\\ 2\cdot2+7\cdot4 & 2\cdot(-1)+7\cdot3 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}-6+24 & 3+18\\ 4+28 & -2+21 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix}18 & 21\\ 32 & 19 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

é possível verificar que a ordem resultante da multiplicação entre matrizes quadradas é, também, uma matriz quadrada com a mesma ordem. Outro ponto a se notar é que foi omitido o índice de ordem das matrizes na resolução pois, como são matrizes quadradas, não se faz necessário.

https://www.youtube.com/watch?v=VeP6FNgG9bg

Tipos de matrizes

Matriz Linha: é a matriz que possui somente uma linha. É conhecida, também, como vetor linha ou apenas vetor;
Matriz Coluna: é a matriz que possui apenas uma coluna e também é conhecida como vetor coluna;
Matriz Quadrada: como visto anteriormente, a matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas;
- Diagonal Principal: a diagonal principal de uma matriz quadrada é aquela em que os elementos possuem os indicadores iguais, ou seja, i = j ⇒ a_ii;
- Diagonal Secundária: é a diagonal formada pelos elementos a_ij de modo que i + j = ordem + 1.
- Triangular Superior: matriz onde os elementos acima da diagonal principal e os da diagonal principal são diferentes de zero, isto é, a_ij = 0 , i > j;
  
  $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
- Triangular Inferior: matriz onde os elementos abaixo da diagonal principal e os da diagonal principal são diferentes de zero, isto é, a_ij = 0 , i < j
  
  $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 0\\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
- Diagonal: matriz onde os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, isto é, a_ij ≠ 0 , i = j.
  
  $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
- Identidade: matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, ou seja, a_ij = 1 , i = j. Essa matriz recebe uma representação peculiar, 𝕀_n ou apenas 𝕀
  
  $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
Matriz Oposta: dada uma matriz 𝔸 e uma matriz 𝔹, é possível dizer que a matriz 𝔹 é oposta a matriz 𝔸 se todos os elementos de 𝔹 forem os elementos simétricos de 𝔸

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 10 & -7\\ 2 & -1 & -8\\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{B}=\begin{bmatrix}-1 & -10 & 7\\ -2 & 1 & 8\\ -3 & -5 & -9 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
Matriz Transposta: dada uma matriz 𝔸, a sua transposta, ou seja, 𝔸^t terá as suas colunas formadas pelas linhas de 𝔸. Vale ressaltar que (𝔸^t)^t = 𝔸

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 9 & 8 & 7 \end{bmatrix}\Rightarrow\mathbb{A}^{t}=\begin{bmatrix}1 & 9\\ 2 & 8\\ 3 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
Matriz Simétrica: dada uma matriz 𝔸, é possível dizer que 𝔸 é simétrica se 𝔸 = 𝔸^t.

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & -1 & 5\\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{A}^{t}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & -1 & 5\\ 3 & 5 & 9 \end{bmatrix}=\mathbb{A} \end{aligned}$$
Matriz Antissimétrica: dada uma matriz 𝔸, é possível dizer que 𝔸 é antissimétrica se − 𝔸 = 𝔸^t. Aqui, se faz necessário mais uma observação: necessariamente a_ij = 0, i = j.

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}0 & 2 & -3\\ -2 & 0 & -5\\ 3 & 5 & 0 \end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad\mathbb{A}^{t}=\begin{bmatrix}0 & -2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}=-\mathbb{A} \end{aligned}$$
Matriz Nula: é uma matriz onde todos os elementos são iguais a 0 (zero).

$$\begin{aligned} \mathbf{0}_{2\mathrm{x}4}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{0}_{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{0}_{3}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
Matriz Ortogonal: dada uma matriz 𝔸, inversível, ela será ortogonal se obedecer 𝔸^t = 𝔸⁻¹.²

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\quad\mathbb{A}^{t}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\Rightarrow\mathbb{A}\cdot\mathbb{A}^{t}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

O autor considera números naturais os positivos diferentes de zero pois, naturalmente, não dizemos "Tenho ZERO Ferrari" para expressar a ideia de que "NÃO TENHO uma Ferrari".↩︎
Será visto mais adiante como calcular a inversa de uma matriz, no entanto, a ideia é partir de uma equação matricial. Dadas as matrizes 𝔸, 𝕏 e a matriz identidade 𝕀. A equação base é 𝔸 ⋅ 𝕏 = 𝕀 e o objetivo é determinar a matriz 𝕏. O leitor habituado com os métodos tradicionais poderia imaginar que para resolver essa equação bastaria passar a matriz 𝔸 dividindo, no entanto, não existe divisão de matrizes, muito menos passa para lá. O correto é determinar uma matriz de modo que a multiplicação dela por sua inversa, resulte no elemento neutro da multiplicação entre matrizes; o elemento neutro da multiplicação entre matrizes é a matriz identidade!↩︎

Determinantes

Ordem 2

Os determinantes de matrizes de ordem 2 podem ser calculadas como segue. Considere a matriz 𝔸

$$\mathbb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\Rightarrow\mathrm{det(\mathbb{A})}=\overbrace{a_{11}\cdot a_{22}}^{\mathrm{diagonal\:principal}}-\underbrace{a_{12}\cdot a_{21}}_{\mathrm{diagonal\:secund\acute{a}ria}}$$

Calcule o determinante de $\mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

O determinante pode ser calculado usando o exposto acima, assim:

$$\mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\Rightarrow\mathrm{det(\mathbb{A})}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$$

https://www.youtube.com/watch?v=tEotRUk9RDo

Calcule o determinante de $\mathbb{B}=\begin{bmatrix}-1 & -2\\ -7 & 4 \end{bmatrix}$

De modo análogo ao exemplo anterior, tem-se:

$$\mathbb{B}=\begin{bmatrix}-1 & -2\\ -7 & 4 \end{bmatrix}\Rightarrow\mathrm{det(\mathbb{B})}=(-1)\cdot4-(-2)\cdot(-7)=-4-(+14)=-4-14=-18$$

https://www.youtube.com/watch?v=tEotRUk9RDo

Ordem 3

Considere uma matriz de ordem 3. O cálculo do determinante será:

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{split} \mathrm{det(\mathbb{A})}&=\overbrace{a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}}^{\mathrm{diagonais\,\,\,principais}}\\ & \quad \underbrace{-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}}_{\mathrm{diagonais\,\,\,secund\acute{a}rias}} \end{split} \end{aligned}$$

Torna-se um pouco complicado calcular o determinante através da memorização da relação acima, um modo, repetitivo, mais fácil será visto no exemplo a seguir.

Calcule o determinante da matriz $\mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

Para resolver, basta copiar as duas primeiras colunas, após a matriz, e seguir um processo análogo ao cálculo do determinante das matrizes de ordem 2, multiplicando as "diagonais principais" e subtraindo a multiplicação das "diagonais secundárias". Essa técnica é conhecida como Regra de Sarrus!

$$\begin{aligned} \mathbb{A}=\begin{bmatrix}{\color{red}1} & {\color{violet}2} & 3\\ {\color{red}4} & {\color{violet}5} & 6\\ {\color{red}2} & {\color{violet}1} & 3 \end{bmatrix}\begin{array}{cc} {\color{red}1} & {\color{violet}2}\\ {\color{red}4} & {\color{violet}5}\\ {\color{red}2} & {\color{violet}1} \end{array}\Rightarrow\mathrm{det(\mathbb{A})} & = \overbrace{1\cdot5\cdot3+2\cdot6\cdot2+3\cdot4\cdot1}^{\mathrm{diagonais\:principais}}-\underbrace{(3\cdot5\cdot2+1\cdot6\cdot1+2\cdot4\cdot3)}_{\mathrm{diagonais\:secund\acute{a}rias}}\\ & = 15+24+12-(30+6+24)\\ & = 51-60\\ & = -9 \end{aligned}$$

https://www.youtube.com/watch?v=zl99h_aiWds

Ordem superior a 3

O determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos. $$\mathrm{det(\mathbb{A})}=\sum_{j=1}^{^{n}}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot\mathrm{det(\mathbb{A}_{-i-j})}$$ sendo:

n a ordem da matriz;
i e j são os índices que representam a linha e coluna, respectivamente;
a_ij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna;
det(𝔸_{−i − j}) é o determinante da matriz formada pela remoção da linha i e coluna j.

O teorema anterior é o Teorema de Laplace que estabelece um modo de calcular os determinantes de matrizes de ordem n. Note que a aplicação desse teorema serve, também, para matrizes de ordem 2 ou 3.

Calcule o determinante da matriz $\mathbb{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

A matriz é de ordem 3 (n = 3). Inicialmente é necessário escolher uma linha qualquer da matriz. Suponha a escolha da linha 1 (i = 1). A linha 1 possui os elementos a₁₁, a₁₂ e a₁₃. Assim o determinante ficará:

$$\begin{aligned} \begin{split} \mathrm{det(\mathbb{A})} & = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot\mathrm{det(\mathbb{A}_{-i-j})}\\ & = \sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}\cdot a_{1j}\cdot\mathrm{det(\mathbb{A}_{-1-j})}\\ & = (-1)^{1+1}\cdot a_{11}\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix})+(-1)^{1+2}\cdot a_{12}\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix})\\ & \quad+(-1)^{1+3}\cdot a_{13}\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix})\\ & = (-1)^{2}\cdot1\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}5 & 6\\ 1 & 3 \end{bmatrix})+(-1)^{3}\cdot2\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}4 & 6\\ 2 & 3 \end{bmatrix})\\ & \quad+(-1)^{4}\cdot3\cdot\mathrm{det}(\begin{bmatrix}4 & 5\\ 2 & 1 \end{bmatrix})\\ & = 1\cdot1\cdot(5\cdot3-6\cdot1)-1\cdot2\cdot(4\cdot3-6\cdot2)+1\cdot3\cdot(4\cdot1-5\cdot2)\\ & = 1\cdot(15-6)-2\cdot(12-12)+3\cdot(4-10)\\ & = 1\cdot9-2\cdot0+3\cdot(-6)\\ & = 9-0-18\\ & = 9-18\\ & = -9 \end{split} \end{aligned}$$

https://www.youtube.com/watch?v=WHPNHxdKDyg

O resultado obtido é o mesmo calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3. Comparando os dois exemplos, o leitor concluirá (facilmente!) que é muito simples, e rápido, calcular o determinante pela regra mencionada. No entanto, a regra de Sarrus pode ser utilizada para matrizes de ordem 3, ou seja, para matrizes de ordem maior (4, 5, 6, ...) o método é o utilizado nesta seção¹.

Regra do Cadarço (Fórmula de Gauss)

Embora esta seção esteja dentro do capítulo sobre Determinantes a Regra do Cadarço é um método para calcular áreas (Fórmula de Gauss para cálculo de área). NÃO se trata de determinantes de matrizes NÃO QUADRADAS. Os Determinantes são exclusivos das matrizes quadradas.

A fórmula pode ser representada por:

$$\mathrm{A}=\frac{1}{2}\cdot|(x_{n}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{n})+\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})|$$

sendo:

n o número de vértices do polígono;
A a área do polígono;
(x_i,y_i), i ∈ 1, 2, …, n as coordenadas dos vértices.

Calcule a área da figura formada pelos pontos (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2)

Os pontos do enunciado formam um quadrado de lado 2, desse modo, a área resultante deverá ser igual a 4, pois 2 ⋅ 2 = 4. Para aplicar a Regra do Cadarço é necessário definir:

n = 4 pois existem 4 pontos!;
P₁ : (0,0) ⇒ x₁ = 0 e y₁ = 0;
P₂ : (2,0) ⇒ x₂ = 2 e y₂ = 0;
P₃ : (2,2) ⇒ x₃ = 2 e y₃ = 2;
P₄ : (0,2) ⇒ x₄ = 0 e y₄ = 2.

Substituindo na Fórmula:

$$\begin{aligned} \mathrm{A} & = \frac{1}{2}\cdot|(x_{n}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{n})+\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|(x_{4}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{4})+\sum_{i=1}^{4-1}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|(x_{4}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{4})+\sum_{i=1}^{3}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|(x_{4}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{4})+(x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1})+(x_{2}\cdot y_{3}-x_{3}\cdot y_{2})+(x_{3}\cdot y_{4}-x_{4}\cdot y_{3})|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|(0\cdot0-0\cdot2)+(0\cdot0-2\cdot0)+(2\cdot2-2\cdot0)+(2\cdot2-0\cdot2)|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|(0-0)+(0-0)+(4-0)+(4-0)|\\ & = \frac{1}{2}\cdot|8|\\ & = \frac{8}{2}\\ & = 4 \end{aligned}$$

https://www.youtube.com/watch?v=N8BoGdXgomk

Embora seja muito mais fácil calcular a área do quadrado utilizando a relação de multiplicação entre os lados, a Regra do Cadarço serve para calcular a área de qualquer polígono bastando conhecer seus vértices, apenas.

Sistemas de Equações Lineares

Para iniciar o capítulo é importante definir alguns pontos. O leitor nesse momento pode lembrar, da disciplina Matemática, que funções lineares são aquelas que resultam em um gráfico no formato de reta, costumeiramente chamadas de linha. Vendo o exemplo abaixo é possível retomar, rapidamente, o gráfico de uma função linear.

Construa o gráfico da função $f(x)=2x+1 $.

Analisando a função dada, é possível definir algumas coisas através da comparação com a definição geral de funções lineares:

\[\begin{aligned} f(x) &= a\cdot x+b\quad\mathrm{Definição\,\,geral}\\ f(x) &= 2\cdot x+1\quad\mathrm{Função\,\,do\,\,enunciado} \end{aligned} \]

Onde,

$ x $: variável independente;
$ f(x) $: variável dependente;
$ f $: nome da função;
$ a $: coeficiente angular. Define o ângulo entre a reta (função) e o eixo das abscissas, também chamado de eixo horizontal ou, “popularmente”, eixo x ¹. Se $ a \gt 0 $ a função é crescente; se $ a \lt 0 $ a função é decrescente; $ a=0 $ a função é constante;
$ b $: coeficiente linear.

- b: coeficiente linear. É o valor que , ou"corta" o eixo das ordenadas, conhecido também como eixo vertical, ou ainda como eixo y ².

Desse modo para fazer o gráfico é necessário apenas dois pontos, ou seja, dois pares ordenados (x,f(x)). Um desses pares pode ser obtido através do coeficiente linear, ou seja, se a função intercepta o eixo das ordenadas no valor 1 (b = 1), necessariamente, x = 0, assim (0,1) é um ponto (ponto vermelho). A determinação de outro ponto pode ser atribuindo um valor, diferente de zero, para a variável independente e calcular seu correspondente. Atribuindo x = 1 tem-se f(1) = 2 ⋅ 1 + 1 ⇒ f(1) = 3 logo, o segundo ponto (ponto preto) será (1,3). Unindo esses dois pontos e traçando uma reta é possível obter o gráfico abaixo:

Gráfico de uma função linear

https://www.youtube.com/watch?v=KreVo3UpTzM

Como pode ser visto na Figura 1.1, o gráfico da função do exemplo anterior é uma reta pois os expoentes das variáveis, independente e dependente são iguais a 1. A função do exemplo anterior pode ser reescrita para a forma:

y − 2x = 1

A forma como a função foi reescrita pode ser entendida como uma equação linear. De modo geral sobre Equações Lineares são equações do tipo:

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ⋯ + a_nx_n = b

onde a₁, a₂, a₃, …, a_n são os coeficientes, x₁, x₂, x₃, …, x_n são as variáveis e b é o termo independente.

A equação 2x + 3y − 4z = 2 é uma equação linear. Seus coeficientes são 2, 3 e − 4. Já as variáveis são x, y e z e 2 é o termo independente. A solução para esta equação ocorre quando x = 3, y = 0 e z = 1 pois 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 1 = 2.

Verifique se (1,2,0) e (1,0,0) satisfazem a equação linear 2x + 3y − 4z = 2.

Para verificar se as triplas³ ordenadas satisfazem a equação linear basta substituir os valores dados em suas respectivas variáveis, assim:

(1,2,0) ⇒ 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 0 = 2 ⇒ 2 + 6 − 0 = 2 ⇒ 8 = 2 FALSO. Logo, a (1,2,0) não satisfaz a equação linear do enunciado.
(1,0,0) ⇒ 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 0 = 2 ⇒ 2 + 0 − 0 = 2 ⇒ 2 = 2 VERDADEIRO. Logo, a (1,0,0) satisfaz a equação linear do enunciado.

O leitor pode imaginar que as equações lineares acima existam infinitas combinações entre valores numéricos que satisfaçam a relação. Isso acontece porque o número de variáveis é MAIOR que o número de equações. No entanto, existem situações em que o número de equações lineares é igual ao número de variáveis.

Dado as funções Receita (R(x) = 30x) e Custo (C(x) = 20x + 1000), determine o ponto de equilíbrio⁴.

Para determinar o ponto de equilíbrio basta fazer y = R(x) = C(x) e substituir nas equações do enunciado, assim:

Função Receita: y = 30x;
Função Custo: y = 20x + 1000.

Fica claro a existência de duas equações (Receita e Custo) e duas variáveis (x e y). A solução dessas equações lineares devem satisfazer as duas funções simultaneamente, desse modo, é possível escrever um sistema de equações lineares, como segue:

\[ \begin{aligned} \left\{ \begin{alignedat}{1}\begin{array}{ccc} y & = & 30x\\ y & = & 20x+1000 \end{array}\end{alignedat} \right. & \Leftrightarrow\\ \left\{ \begin{alignedat}{1}\begin{array}{ccc} y-30x & = & 0\\ y-20x & = & 1000 \end{array}\end{alignedat} \right. & \Leftrightarrow\\ \left\{ \begin{alignedat}{1}\begin{array}{ccc} y-30x & = & 0\\ -10x & = & -1000 \end{array}\end{alignedat} \right. & \Rightarrow x=100\\ y-30\cdot100=0 & \Rightarrow\\ y-3000=0 & \Rightarrow y=3000 \end{aligned} \]

Assim, o ponto de equilíbrio é (100,3000) e representa a quantidade de produtos que devem ser vendidos (x = 100 unidades) e o valor da Receita e do Custo quando forem vendidos x = 100 produtos será de R$3000,00 (y = 3000 ⇒ R(100) = C(100) = R$ 3000, 00). A Figura 1.2 mostra o gráfico das funções e o ponto de equilíbrio.

Gráfico das funções Receita e Custo

https://www.youtube.com/watch?v=8mZ7W4jwPWY

Como visto anteriormente, os sistemas de equações lineares podem ser aplicados na área da Administração, Ciências Contábeis e, é claro, na área de exatas!

Desse modo é de fundamental importância saber resolver os sistemas de equações lineares e, para isso, existem alguns métodos. Será visto aqui o método da resolução usando matrizes, chamada de regra de Cramer e o método da eliminação de Gauss.

Antes de conhecer as técnicas é importante frisar que os sistemas de equações lineares podem ser classificados dependendo do número de soluções que o mesmo apresenta:

Sistema Impossível: Quando o sistema não admite solução;
Sistema Possível e Indeterminado: Quando o sistema admite mais de uma solução;
Sistema Possível e Determinado: É o sistema que possui uma única solução possível.

Regra de Cramer

Considere o sistema abaixo:

$$\begin{cases} \begin{array}{ccc} x+y+z & = & 6\\ x-y+z & = & 2\\ x+y-z & = & 0 \end{array}\end{cases}$$

É possível escrever a Matriz Principal deste sistema. A Matriz Principal é composta pelos coeficientes de cada variável do sistema, ou seja

$$\mathbb{{M}}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Ainda é possível definir as matrizes 𝕄_x, 𝕄_y, e 𝕄_z substituindo os valores da coluna do resultado nas respectivas colunas da matriz principal, assim:

$$\mathbb{{M}}_{x}=\begin{bmatrix}6 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},\quad\mathbb{{M}}_{y}=\begin{bmatrix}1 & 6 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix},\quad\mathbb{{M}}_{z}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 6\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Então, o valor das variáveis do sistema dado pode ser calculado através de:

$$x=\frac{{\mathrm{det}(\mathbb{{M}}_{x})}}{\mathrm{det}(\mathbb{M})},\quad y=\frac{\mathrm{det}(\mathbb{M}_{y})}{\mathrm{det}(\mathbb{M})},\quad\mathrm{e\quad z=\frac{\mathrm{det}(\mathbb{M}_{z})}{\mathrm{det}(\mathbb{M})}}$$

Eliminação de Gauss - Método do escalonamento

Um sistema de equações lineares pode ser escrito da seguinte forma:

\[ \mathbb{A} \cdot \mathbb{X} = \mathbb{B} \]

Onde a matriz $ \mathbb{A} $ é a matriz dos coeficientes, $\mathbb{X} $ é a matriz das variáveis e $ \mathbb{B} $ é a matriz dos resultados.

O objetivo da eliminação de Gauss é formar uma matriz triangular superior. Em um sistema de equações lineares é possível fazer:

Multiplicar uma linha inteira por um número diferente de zero;
Mudar a posição das linhas e/ou colunas;
Efetuar operações entre as linhas.

Resolva o sistema abaixo

$$\begin{cases} x+y+z & =3\\ 2x+y+2z & =5\\ x-y+3z & =1 \end{cases}$$

O sistema do enunciado pode ser escrito através da multiplicação abaixo

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}}_{\mathbb{A}}\cdot\underbrace{\begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}}_{\mathbb{X}}=\underbrace{\begin{bmatrix}3\\ 5\\ 1 \end{bmatrix}}_{\mathbb{B}}$$

O próximo passo é montar a chamada Matriz Ampliada do passo inicial ou passo zero (0).

$$\left[ \mathbb{A}|\mathbb{B}\right ]^{(0)}=\left[ \begin{matrix}1&1&1\\2&1&2\\1&-1&3 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 3\\5\\1\end{matrix}\right. \right ]$$

Após a definição da Matriz Ampliada, o próximo passo é zerar os elementos que estão abaixo da diagonal principal, assim: $$\begin{aligned} L_2^{(1)} &\leftarrow 2\cdot L_1^{(0)}-L_2^{(0)} \\ L_3^{(1)} &\leftarrow L_1^{(0)}-L_3^{(0)} \end{aligned}$$

resultando em: $$\left[ \mathbb{A}|\mathbb{B}\right ]^{(1)}=\left[ \begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&2&-3 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 3\\1\\2\end{matrix}\right. \right ]$$

O próximo passo é usar a linha 2 como referência para zerar os elementos que estão abaixo da diagonal principal. Assim:

$$\begin{aligned} L_3^{(2)} &\leftarrow 2 \cdot L_2^{(1)}-L_3^{(1)} \end{aligned}$$

obtendo o seguinte sistema:

\[ \left[ \mathbb{A}|\mathbb{B}\right ]^{(2)}=\left[ \begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&3 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 3\\1\\0\end{matrix}\right. \right ] \]

Da última linha, tem-se: 3z = 0 ⇒ z = 0

Da linha 2 é possível obter:

y = 1

Substituindo o resultado de y e z na linha 1, obtém-se:

x + y + z = 3 ⇒ x + 1 + 0 = 3 ⇒ x = 2

Enfim, este sistema pode ser classificado como Sistema Possível e Determinado e a solução é a tripla (2,1,0), podendo representar o conjunto solução da seguinte maneira:

S = {(2,1,0)}

https://www.youtube.com/watch?v=L4V_rF9uN2g

Existem alguns pontos a serem considerados aqui: 1) quando é falado eixo horizontal podem haver interpretações erradas pois é uma questão de referência, ou seja, se o leitor girar o papel em 90, o eixo se tornará vertical! Chamar de eixo x também podem haver interpretações diferenciadas, pois se o problema trata de uma situação onde envolva o cálculo do espaço de um móvel (S) em função do tempo (t), essa nomenclatura não fará sentido algum. O modo correto de interpretar e nomear o eixo é utilizar eixo das abscissas ou, se o leitor preferir, pode utilizar o nome da variável independente para o nome do eixo, ou seja, no mesmo exemplo anterior, cálculo do espaço em função do tempo, pode ser utilizado para o eixo das abscissas simplesmente eixo de t ou eixo do tempo.↩︎
Mesma consideração da nota anterior.↩︎
Um nome mais apropriado para chamar um conjunto de valores, ordenados, é utilizando a quantidade de elementos dessa organização, ou seja: 2 valores implicam numa dupla ou par ordenado; 3 valores, tripla ordenada; 4 valores, quadrupla ordenada; 5 valores, quíntupla ordenada; “n” valores n-upla (ênupla).↩︎
O ponto de equilíbrio acontece quando a Receita é igual ao Custo, ou seja, R(x) = C(x)↩︎

EXERCÍCIOS

Uma empresa tem a função custo definida por $ C(x)=45x+15000 $ e a função receita definida por $ R(x)=60x $. Determine o ponto de equilíbrio usando o método da eliminação de Gauss (escalonamento)
Uma loja possui uma função de custo representada por $ C(x) = 80x + 25000 $ e uma função de receita dada por $ R(x) = 100x $. Utilize o método da eliminação de Gauss para encontrar o ponto de equilíbrio dessa operação.
Uma fábrica de móveis apresenta a função custo $ C(x) = 50x + 18000 $ e a função receita $ R(x) = 75x $. Determine o ponto de equilíbrio dessa fábrica aplicando o método de escalonamento de Gauss.
Uma empresa de eletrônicos tem como função custo $ C(x) = 65x + 22000 $ e como função receita $ R(x) = 85x $. Calcule o ponto de equilíbrio utilizando o método da eliminação de Gauss.
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre o valor de $ x $: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases} \]
Em uma sala, há 30 pessoas, entre homens e mulheres. Sabendo que o número de mulheres é o dobro do número de homens, determine quantos homens e quantas mulheres há na sala.
Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. Em um certo mês, foram vendidas 50 unidades ao total, gerando uma receita de R$ 1.200,00. Sabendo que o produto A custa R$ 20,00 e o produto B custa R$ 40,00, determine quantas unidades de cada produto foram vendidas.
Resolva o seguinte sistema de equações e encontre o valor de $ y $: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Em uma escola, a soma do número de professores e de alunos é 200. Sabendo que o número de alunos é 10 vezes o número de professores, determine quantos alunos e professores há na escola.
Considere o sistema linear: \[ \begin{cases} 5x + 4y = 12 \\ 2x - 3y = -3 \end{cases} \] Classifique o sistema quanto ao número de soluções.
Em um supermercado, o preço de 3 kg de maçãs e 2 kg de laranjas é R$ 24,00. O preço de 1 kg de maçã e 1 kg de laranja é R$ 7,00. Encontre o preço por kg das maçãs e das laranjas.
A soma de dois números é 20 e a diferença entre eles é 4. Quais são esses números?
Para comprar 10 maçãs e 15 bananas, uma pessoa gastou R$ 30,00. Sabendo que uma maçã custa o dobro do valor de uma banana, determine o preço de cada fruta.
Em um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, sabe-se que: \[ \begin{cases} ax + by = 6 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases} \] Para que o sistema seja possível e determinado, o valor de $ a $ deve ser igual a quanto?
Verifique se as matrizes $ A $ e $ B $ são iguais: \[ A = \begin{bmatrix} x^2 + 3x & 3 \\ 4 & y^2 - 5y \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \] Encontre os valores de $ x $ e $ y $ para que $ A = B $.
Dadas as matrizes $ A = \begin{bmatrix} x^2 & 4 \\ 7 & y^2 - 4y + 3 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} $, encontre os valores de $ x $ e $ y $ para que $ A = B $.
Considere as matrizes $ A = \begin{bmatrix} 1 & a^2 + 2a - 3 \\ b^2 - b & 2 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} $. Encontre os valores de $ a $ e $ b $ para que $ A = B $.
Se $ A = \begin{bmatrix} 2 & y^2 - 4 \\ x^2 + x & 6 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 6 \end{bmatrix} $, determine os valores de $ x $ e $ y $ para que $ A = B $.
Verifique se as matrizes abaixo são iguais: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x^2 - x - 2 \\ 4 & y^2 - 3y + 2 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 6 \end{bmatrix} \] Encontre os valores de $ x $ e $ y $ para que $ A = B $.
Se $ A = \begin{bmatrix} x^2 - 2x & 8 \\ 7 & y^2 + y \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 10 \end{bmatrix} $, determine $ x $ e $ y $ para que $ A = B $.
Dadas as matrizes $ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & z^2 + z \\ 6 & w^2 - 3w & 5 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} $, determine $ z $ e $ w $ para que $ A = B $.
Considere as matrizes $ A = \begin{bmatrix} a^2 - 4a + 4 & 5 \\ 3 & b^2 - b \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $. Encontre os valores de $ a $ e $ b $ para que $ A = B $.
Se $ A = \begin{bmatrix} p^2 + 2p - 3 & 4 \\ 6 & q^2 - 5q + 6 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} $, encontre $ p $ e $ q $ para que $ A = B $.
Verifique se as matrizes $ A = \begin{bmatrix} x^2 - x & y + y^2 & 2 \\ 3 & 5 & z^2 - 2z \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix} $ são iguais. Se sim, determine $ x $, $ y $ e $ z $.
Verifique se as matrizes $ A = \begin{bmatrix} x^2 - 6x & y^2 \\ 3 & 5 & \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} -13 & -4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} $ são iguais. Se sim, determine $ x $ e $ y $.
Em uma sala, há 30 pessoas, entre homens (H) e mulheres (M). Sabendo que o número de mulheres é o dobro do número de homens, determine quantos homens e quantas mulheres há na sala.
Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. Em um certo mês, foram vendidas 50 unidades ao total, gerando uma receita de R$ 1.200,00. Sabendo que o produto A custa R$ 20,00 e o produto B custa R$ 40,00, determine quantas unidades de cada produto foram vendidas.
A soma de dois números é 20 e a diferença entre eles é 4. Quais são esses números?
O número de motos (M) e carros (C) é igual a 20. O total de rodas é de 60. Quantas motos e quantos carros existem nesse problema?
Uma empresa possui o lucro sobre um produto igual a $ L(x) = 20 \cdot x -3000 $. O ponto de equilíbrio pode ser obtido fazendo $ L(x) = 0 $. Calcule a quantidade $ x $ de modo que o lucro seja zero.
Considere o sistema: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 0 \end{cases} $ Qual o valor de $ x $ e $ y $?
Calcule o determinante da matriz identidade de ordem 2.
Considere a matriz $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $. Qual o valor do determinante?
Qual deve ser o valor de $ x $ para que as matrizes $ \begin{bmatrix} x & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ e $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $

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