De Moivre

Derivação da Fórmula de De Moivre

1. Representação trigonométrica de um número complexo

Todo número complexo \( z = a + bi \) pode ser escrito como:

\( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)

Onde:

• \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) é o módulo
• \( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\frac{b}{a} \) é o argumento

2. Multiplicação de números complexos

Se temos:

\( z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1), \quad z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)

Multiplicando:

\( z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)) \)

Conclusão: ao multiplicar complexos, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.

3. Potência de um número complexo — ideia inicial

Para \( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \) e um inteiro \( n \), observamos o padrão:

\( z^2 = z \cdot z = r^2 (\cos(\theta + \theta) + i \sin(\theta + \theta)) = r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta) \)

\( z^3 = z^2 \cdot z = r^3 (\cos(2\theta + \theta) + i \sin(2\theta + \theta)) = r^3 (\cos 3\theta + i \sin 3\theta) \)

\( z^4 = z^3 \cdot z = r^4 (\cos(3\theta + \theta) + i \sin(3\theta + \theta)) = r^4 (\cos 4\theta + i \sin 4\theta) \)

Observamos que ao elevar à potência \( n \), o módulo é \( r^n \) e o argumento é \( n \theta \).

Indução matemática

Base da indução: \( n = 1 \)

\( z^1 = z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)

Hipótese de indução: suponha que \( z^k = r^k (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) \)

Passo de indução:

\( z^{k+1} = z^k \cdot z = r^k (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) \cdot r (\cos \theta + i \sin \theta) \)

Multiplicando módulos: \( r^k \cdot r = r^{k+1} \)

Multiplicando ângulos (identidade trigonométrica):

\( (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta))(\cos \theta + i \sin \theta) = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta) \)

Logo: \( z^{k+1} = r^{k+1} (\cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta)) \)

Portanto, por indução, a fórmula é válida para todo inteiro positivo \( n \):

\( \boxed{z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))} \)

4. Raízes n-ésimas

Para resolver \( x^n = z \), escrevemos \( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \) e assumimos \( x = \rho (\cos \phi + i \sin \phi) \).

Pela fórmula de De Moivre:

\( x^n = \rho^n (\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)) = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)

Comparando módulo e argumento:

• Módulo: \( \rho^n = r \Rightarrow \rho = \sqrt[n]{r} \)
• Argumento: \( n\phi = \theta + 2 k \pi \Rightarrow \phi = \frac{\theta + 2 k \pi}{n}, \quad k = 0,1,\dots,n-1 \)

Portanto, as raízes n-ésimas são:

\( \boxed{x_k = \sqrt[n]{r} \left[ \cos\frac{\theta + 2 \pi k}{n} + i \sin\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right]}, \quad k = 0,1,\dots,n-1 \)

5. Exemplos

Raízes cúbicas de -8

\( x^3 = -8 \)

Módulo: \( r = 8 \), Argumento: \( \theta = \pi \)

Fórmula: \( x_k = 2 \left[ \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin\frac{\pi + 2\pi k}{3} \right], \quad k=0,1,2 \)

Raízes:

• \( x_0 = 1 + i\sqrt{3} \)
• \( x_1 = -2 \)
• \( x_2 = 1 - i\sqrt{3} \)

Raízes quarticas da unidade

\( x^4 = 1 \)

\( x_k = \cos\frac{2\pi k}{4} + i \sin\frac{2\pi k}{4}, \quad k=0,1,2,3 \)

Raízes:

• \( x_0 = 1 \)
• \( x_1 = i \)
• \( x_2 = -1 \)
• \( x_3 = -i \)

Raízes quinticas da unidade

\( x^5 = 1 \)

\( x_k = \cos\frac{2\pi k}{5} + i \sin\frac{2\pi k}{5}, \quad k=0,1,2,3,4 \)

Raízes aproximadas:

• \( x_0 = 1 \)
• \( x_1 \approx 0,309 + 0,951i \)
• \( x_2 \approx -0,809 + 0,588i \)
• \( x_3 \approx -0,809 - 0,588i \)
• \( x_4 \approx 0,309 - 0,951i \)

Resumo

• Para números reais positivos, as raízes n-ésimas podem ser reais.
• Para números negativos ou complexos, as raízes geralmente são complexas.
• As raízes n-ésimas de 1 estão distribuídas uniformemente no círculo unitário.
• De Moivre permite calcular potências e raízes complexas usando trigonometria.