Uma Equação Diferencial Ordinária é uma equação que envolve as derivadas de uma função de uma variável real e pode ser definida como:
$$\begin{aligned} F \left (x, y(x), \frac{dy}{dx}, \frac{d^2 x}{dx^2}, \ldots , \frac{d^{n}y}{dx^{n}} \right ) \end{aligned}$$
Embora a definição seja geral, será abordado neste livro, apenas um tipo de EDO e tipo de solução, até a data de
Considere a EDO $$\frac{dy}{dx} = 5x$$ Determine a família de soluções (solução geral).
Para resolver esse tipo de EDO, basta separar as variáveis e os infinitesimais em lados opostos da equação. Após a separação, aplica-se a integral em ambos os lados, como segue:
$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= 5x \\ dy &= 5x dx \\ \int dy &= \int 5x dx \\ \int y^0 dy &= 5 \cdot \int x^1 dx \\ \frac{y^{0+1}}{0+1} &= 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + c \\ \frac{y}{1} &= 5 \cdot \frac{x^2}{2} + c \\ y &= \frac{5}{2} \cdot x^2 + c \\ \end{aligned}$$
Uma aplicação bem interessante é determinar as funções Posição e Velocidade de um objeto a partir de sua aceleração. A seguir, será determinada as funções dos movimentos Uniforme, Uniformemente Variado e outros tipos de movimento.
A característica do Movimento Uniforme (M.U.) é que a aceleração é constante e igual a zero, ou seja, a = 0. A partir desse fato, a velocidade é constante, ou seja, como não variação na velocidade, pois a = 0, então:
$$\begin{aligned} v_m &= \frac{\Delta S}{\Delta t} \end{aligned}$$
A equação acima nos mostra a relação para a determinação da velocidade média, no entanto, o que interessa é estudar a velocidade instantânea, assim, quando Δt → 0, tem-se:
$$\begin{aligned} v = \frac{dS}{dt} \end{aligned}$$
Sabendo que a velocidade no M.U. é constante, então a EDO acima pode ser resolvida como segue:
$$\begin{aligned} \frac{dS}{dt} =& v \\ dS =& v dt \\ \int dS =& \int v dt \\ S =& v \cdot \int dt \\ S =& v \cdot t + c \\ \end{aligned}$$
A constante c, proveniente da integração indefinida, pode ser renomeada de modo conveniente a ficar:
$$\begin{aligned} S = S_0 + vt \end{aligned}$$
Que é a tão conhecida Função Horária da Posição ou, mais informalmente, "fórmula do sorvete" (para o idioma português =D).
O Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) tem a característica de ter uma aceleração constante e diferente de zero, desse modo:
$$\begin{aligned} a_m =& \frac{\Delta v}{\Delta t} \end{aligned}$$
De modo análogo, quando Δt → 0, é possível reescrever a equação acima de modo a obter a aceleração instantânea
$$\begin{aligned} a = \frac{dv}{dt} \end{aligned}$$
Resolvendo a EDO acima separando os infinitesimais, tem-se:
$$\begin{aligned} dv =& a \cdot dt \\ \int dv =& a \cdot \int dt \\ v =& a \cdot t + c\\ \end{aligned}$$
É possível renomear a constante c por uma letra conveniente, tem-se:
$$\begin{aligned} v = v_0 + at \end{aligned}$$
A função acima é a Função Horária da Velocidade e, a partir dela, será possível determinar a Função Horária da Posição, fazendo:
$$\begin{aligned} v =& \frac{dS}{dt} \\ dS =& v \ dt \\ dS =& (v_0 + at) dt \\ \int dS =& \int (v_0 + at) dt \\ S =& v_0 \int dt + a \cdot \int t dt \\ S =& v_0 t + a \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} + c \\ S =& S_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \\ \end{aligned}$$
As funções acima são conhecidas pelos estudantes do Ensino Médio de todo o Brasil (pelo menos deveria!), no entanto, a vida real possui movimentos muito complexos com acelerações que variam com o tempo.
Para esses tipos de movimento as funções não são abordadas no Ensino Médio, porém, elas poderão abordadas aqui.
Digamos que temos um movimento onde a aceleração obedece a relação a = αt + β, ou seja, uma função linear.
Para determinar as funções horárias para a Velocidade e Posição, seguir-se-á o procedimento abordado anteriormente para M.U e M.U.V., assim:
$$\begin{aligned} a =& \frac{dv}{dt} \\ dv =& a \cdot dt \\ \int dv =& (\alpha t + \beta) dt \\ v =& \int (\alpha t + \beta) dt \\ v =& \frac{1}{2} \alpha t^2 + \beta t + v_0 \\ \end{aligned}$$
E, por fim, para determinar a função da Posição:
$$\begin{aligned} v =& \frac{dS}{dt} \\ dS =& v \cdot dt \\ dS =& (\frac{1}{2} \alpha t^2 + \beta t + v_0) dt \\ \int dS =& \int (\frac{1}{2} \alpha t^2 + \beta t + v_0) dt \\ S =& \frac{1}{2} \cdot \alpha \frac{t^{2+1}}{2+1} + \beta \frac{t^2}{2} + v_0 t + S_0 \\ S =& \frac{1}{2} \cdot \alpha \frac{1}{3} \cdot t^3 + \frac{1}{2} \cdot \beta t^2 + v_0 t + S_0 \\ S =& \frac{1}{6} \cdot \alpha t^3 + \frac{1}{2} \cdot \beta t^2 + v_0 t + S_0 \\ \end{aligned}$$
Exemplo do carro no semáforo!