O cálculo do valor das parcelas na tabela PRICE pode ser feito através da fórmula abaixo:
\[ P=P_v \cdot \frac{i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1} \]
Onde:
A tabela SAC possui um sistema de Amortização Constante, ou seja, a primeira parcela é a maior de todas e as demais vão decaindo até a última parcela ser igual ao valor da Amortização.
Desse modo, para calcular o valor da primeira parcela é necessário calcular a Amortização:
\[ A = \frac{P_v}{n} \]
O valor da primeira parcela será:
\[ P_1 = A+P_v \cdot i \]
Normalmente os financiamentos possuem em contrato valores de taxas anuais e as fórmulas de cálculo de financiamento possuem parcelas mensais, ou seja, é necessário converter a taxa anual em taxa mensal.
De modo geral, a fórmula para realizar essa conversão é a seguinte:
\[ i=(1+i)^n-1 \]
Um ponto especial nessa fórmula é o valor \(n\). Quando queremos passar de uma taxa de um tempo grande para um tempo pequeno, taxa anual para taxa mensal, por exemplo, o valor de \(n\) será \(1/n\), sendo assim, se quisermos passar de uma taxa anual para mensal basta fazer \(n=1/12\) pois em 1 ano temos 12 meses.
Agora, se quisermos passar de uma taxa mensal para anual, basta fazer \(n=12\), pois 1 ano tem 12 meses
EXEMPLO: Converta \(i=10\% \text{a.a.}\) (a.a. significa ao ano) para taxa a.m. (ao mês)
\[ \begin{align*} i&=(1+i)^n-1 \\ i&=(1+10\%)^{1/12}-1 \\ i&=(1+0,1)^{0,0833}-1 \\ i&=(1,1)^{0,0833}-1 \\ i&=1,007970 \cdots -1 \\ i&=0,007970 \cdots \\ i&\approx 0,00797 \text{ a.m.} \\ i&=0,797 \% \text{ a.m.}\\ \end{align*} \]
EXEMPLO: Converta \(i=0,797\% \text{a.m.}\) para taxa a.a. (ao ano)
\[ \begin{align*} i&=(1+i)^n-1 \\ i&=(1+0,797\%)^{12}-1 \\ i&=(1+0,00797)^{12}-1 \\ i&=(1,00797)^{12}-1 \\ i&=1,0999 \cdots -1 \\ i&=0,0999 \cdots \\ i&\approx 0,0999 \text{ a.a.} \\ i&=9,99 \% \text{ a.a.}\\ \end{align*} \]
Muitas vezes as pessoas que realizam financiamento de imóveis podem querer reduzir o tempo, ou seja, o número de parcelas através de aportes extras. Esses aportes podem ser usados para redução do número de parcelas ou redução no valor das parcelas.
Abaixo temos a relação matemática para calcular o novo número de parcelas após um aporte financeiro extra na tabela PRICE
\[ n=\frac{\ln{\left ( \frac{P}{P-i \cdot P_{v_{\text{novo}}}} \right )} }{\ln{(1+i)}} \]
Aqui, \(P_{v_{\text{novo}}} \) é o valor do saldo devedor subtraído do aporte financeiro extra.
O aporte na tabela SAC é feito, inicialmente, determinando o valor da amortização no contrato original. Após saber o valor da amortização, basta fazer o saldo devedor menos o aporte e dividir pela amortização, matematicamente:
\[ n = \frac{P_{v_{\text{novo}}}}{A} = \frac{\text{saldo devedor} - \text{aporte}}{A} \]
Uma pessoa quer financiar um imóvel em 20 anos no valor de R$310.000,00. Sabe-se que a entrada será de 20% e a taxa anual do contrato é de 8%. Calcule o valor das parcelas na tabela PRICE e a primeira parcela na tabela SAC.
O valor a ser financiado será de 80% do valor do imóvel, ou seja:
\[ 80\% \cdot 310000 = 0,8 \cdot 310000 = 248000 \]
É necessário converter a taxa anual em mensal usando a relação de conversão acima, logo:
\[ \begin{align*} i&=(1+i)^n-1 \\ i&=(1+8\%)^{1/12}-1 \\ i&=(1+0,08)^{0,0833}-1 \\ i&=(1,08)^{0,0833}-1 \\ i&=1,006434 \cdots -1 \\ i&=0,006434 \cdots \\ i&\approx 0,006434 \text{ a.m.} \\ i&=0,6434 \% \text{ a.m.}\\ \end{align*} \]
O primeiro passo é determinar a amortização, que será o valor financiado dividido pelo tempo do contrato, 240 meses para 20 anos:
\[ A=\frac{248000}{240}=1033,33 \]
A primeira parcela será:
\[ P_1 = A+i \cdot P_v = 1033,33+0,006434 \cdot 248000 = 2628,96 \]
A última parcela será o valor da amortização, ou seja, R$1033,33.
Usando a relação mostrada anteriormente, para a tabela PRICE, com os valores do problema, temos:
\[ \begin{align*} P&=P_v \cdot \frac{i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1} \\ P&=248000 \cdot \frac{0,006434 \cdot (1+0,006434)^{240}}{(1+0,006434)^{240}-1} \\ P&=248000 \cdot \frac{0,006434 \cdot (1,006434)^{240}}{(1,006434)^{240}-1} \\ P&=248000 \cdot \frac{0,006434 \cdot 4,6609}{4,6609-1} \\ P&=248000 \cdot \frac{0,02999}{3,6609} \\ P&=\frac{7437,52}{3,6609} \\ P&=2031,61 \\ \end{align*} \]
Imagine que na primeira parcela a pessoa tenha R$20000,00 de recursos próprios e deseja fazer um aporte para reduzir o tempo de pagamento, ou seja, reduzir o número de parcelas. Na tabela SAC, fica:
\[ \begin{align*} n &= \frac{248000 - 20000}{1033,33} \\ n &= \frac{228000}{1033,33} \\ n &= 220,6 \\ n &= 221 \text{ parcelas} \\ \end{align*} \]
O cálculo do número de parcelas após o aporte pode ser feito com a seguinte relação matemática:
\[ \begin{align*} n&=\frac{\ln{\left ( \frac{P}{P-i \cdot P_{v_{\text{novo}}}} \right )} }{\ln{(1+i)}} \\ n&=\frac{\ln{\left ( \frac{2031,61}{2031,61 - 0,006434 \cdot (248000-20000)}\right )}}{\ln{(1+0,006434})} \\ n&=\frac{\ln{\left ( \frac{2031,61}{2031,61 - 0,006434 \cdot 228000}\right )}}{\ln{(1,006434})} \\ n&=\frac{\ln{\left ( \frac{2031,61}{2031,61 - 1466,95}\right )}}{\ln{(1,006434})} \\ n&=\frac{\ln{\left ( 3,5979 \right )}}{\ln{(1,006434})} \\ n&=\frac{1,2804}{0,006413} \\ n&=199,65 \\ n&=200 \text{ parcelas} \\ \end{align*} \]
É possível verificar que a tabela PRICE permite um valor fixo de parcelas, no entanto a tabela SAC as parcelas vão diminuindo o valor.
A tabela PRICE parece ser mais vantajosa para aqueles que desejam fazer aportes pois o mesmo valor de aporte permite reduzir mais parcelas em comparação com a tabela SAC
Por fim, a decisão a ser tomada para realizar um financiamento e a escolha de uma tabela depende de cada pessoa e cada situação.
* Os resultados fornecidos pela calculadora é aproximado e pode não representar a realidade de um contrato real. Use com cuidado e parcimônia.
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