O estudo de funções é importante entretanto, no dia a dia da maior parte das pessoas, este estudo não faz sentido, num primeiro momento. Porém não é difícil imaginar que em toda a vida de uma pessoa ela esteja direta, ou indiretamente, ligada com as funções. Desde a elaboração de uma receita de um bolo, a quilometragem que um determinado veículo pode fazer com um tanque de combustível, a Receita, o Custo e o Lucro de uma empresa.
Considere os ingredientes necessários para se fazer um (uma receita) bolo (hipotético):
4 ovos;
1 litro de leite;
1 kg de farinha.
Como mencionado, os ingredientes acima estão relacionadas para se
fazer uma receita ou um bolo. Se o indivíduo deseja
fazer duas receitas, ou dois bolos, a quantidade dos
ingredientes deve dobrar! Assim:
4 ovos × 2 ⇒ 8 ovos;
1 litro de leite × 2 ⇒ 2 litros de leite;
1 kg de farinha × 2 ⇒ 2 kg de farinha.
Se uma empresa fabrica um produto por um custo de R$10, 00 a unidade e o vende a R$15, 00 a unidade e tem custos de aluguel, água, energia elétrica, entre outros que totalizam R$1000, 00 por mês é possível escrever sua função Custo, Receita e Lucro da seguinte forma:
$$\begin{aligned} \mathrm{R}(x) &= 15,00 \cdot x \\ \mathrm{C}(x) &= 10,00 \cdot x +1000,00 \\ \mathrm{L}(x) &= 5,00 \cdot x -1000,00 \end{aligned}$$
onde x representa a quantidade de itens produzidos e vendidos.
Esta seção se inicia com a ideia de Relação. A relação deve acontecer entre dois conjuntos numéricos, 𝔸 e 𝔹, por exemplo.
A Relação poderá receber o nome de Função se, e somente se, todo elemento do conjunto de partida (𝔸, por exemplo), tenha um, apenas um, correspondente no conjunto de destino (𝔹), através de uma lei. Matematicamente, uma função pode ser escrita assim:
$$\begin{aligned} f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}, \forall x \in \mathbb{A}, \, \exists y \in \mathbb{B} \,\, / \,\, y=f(x) \end{aligned}$$
Vale notar que x é a
variável independente e y é a variável dependente
pois depende de x. De modo
geral, o primeiro conjunto da definição de uma função está relacionado
com a variável independente, pois é o conjunto de partida e a
variável dependente está relacionada com o segundo conjunto,
pois é o conjunto de chegada.
Como o objetivo deste material é trabalhar com funções, apenas, não será abordado as relações de modo geral, sendo assim deve ser definido o Domínio (D) e Imagem (Im) de uma função (f), sendo:
O domínio de uma função é um conjunto numérico com os valores possíveis que podem ser atribuídos à variável independente.
A imagem de uma função é um conjunto numérico contendo o resultado de cada elemento do domínio aplicado na função.
Considere os conjuntos 𝔸 = {1, 2, 3} e 𝔹 = {2, 4, 6, 8} e a função f : 𝔸 → 𝔹 / y = f(x) = 2x. Determine o Domínio e a Imagem de f.
Solução:
O conjunto de partida é o conjunto 𝔸 então, ele é o Domínio da função (D(f)). Os elementos do domínio são atribuídos à variável independente, x.
Os elementos da Imagem da função f são obtidos da seguinte maneira:
x = 1 ⇒ f(1) = 2 ⋅ 1 = 2
x = 2 ⇒ f(2) = 2 ⋅ 1 = 4
x = 3 ⇒ f(3) = 2 ⋅ 1 = 6
Assim, o conjunto Imagem é: Im = {2, 4, 6}. Verifica-se que o conjunto imagem não é o conjunto 𝔹 pois são os elementos que possuem um elemento x do Domínio. Como o 8 do conjunto 𝔹 não possui um antecessor do conjunto 𝔸, ele não faz parte da Imagem.
As funções, de modo geral, tem o conjunto dos Números Reais como Domínio e Imagem, porém existem funções que o Domínio deve ser determinado, ou seja, será um subconjunto dos Reais.
Determine o Domínio e a Imagem da função $f(x)=\frac{1}{x-3}$
Solução:
Determinação do Domínio: É possível verificar que a função possui uma divisão e a variável independente está no denominador. Este tipo de situação requer que o denominador seja diferente de zero, pois, caso contrário, haveria uma indeterminação. Seguindo o analisado, é possível fazer:
$$\begin{aligned} x-3 &\neq 0 \\ x-3 +3 & \neq 0+3 \\ x &\neq 3 \end{aligned}$$
Logo, D(f) = (−∞,3) ∧ (3,+∞) ou D(f) = ℝ − {3} ou D(f) = {x ∈ ℝ/x ≠ 3}
Determinação da Imagem: Para a determinação da imagem é necessário analisar os extremos do domínio. Assim:
x → − ∞ ⇒ f(x) → 0: Se x aproxima-se do infinito negativo, o denominador torna-se um número muito grande e, consequentemente, a divisão aproxima-se de zero;
x → − 3− ⇒ f(x) → − ∞: Se x aproxima-se do três negativo pela esquerda, o denominador torna-se um número muito pequeno negativo e, consequentemente, a divisão aproxima-se de menos infinito;
x → − 3+ ⇒ f(x) → ∞: Se x aproxima-se do três negativo pela direita, o denominador torna-se um número muito pequeno positivo e, consequentemente, a divisão aproxima-se de mais infinito;
x → ∞ ⇒ f(x) → 0: Se x aproxima-se do infinito positivo, o denominador torna-se um número muito grande e, consequentemente, a divisão aproxima-se de zero.
Do exposto anteriormente, a Imagem nunca assumirá o valor 0 (zero), assim a imagem será Im(f) = ℝ* ou Im(f) = ℝ − {0}
Muitos símbolos foram usados no exemplo anterior porém, os mesmos, serão explicados posteriormente no Capítulo [limites].
Determine o Domínio e a Imagem da função $f(x)=\sqrt{x+2}$.
Solução:
Domínio: Os valores que podem ser colocados na função são valores positivos (funções reais) e, nesse caso, o zero. Valores negativos dentro da raíz quadrada resultam em resultados pertencentes aos Número Complexos, logo:
$$\begin{aligned} x+2 & \geq 0 \\ x+2-2 &\geq 0-2 \\ x &\geq -2 \end{aligned}$$
Assim, D(f) = [ − 2, + ∞) ou D(f) = {x ∈ ℝ/x ≥ − 2}
As raízes de uma função f(x) pode ser calculada ao fazer f(x) = 0, ou seja, são os pontos em que a função "corta" o eixo da variável independente. Nos casos de polinômios, o número de raízes é igual ao maior grau da função. Cada tipo de função possui uma metodologia diferente para o cálculo das suas raízes assim, será visto nas seções subsequentes.
Difíceis são os processos que dependem apenas de uma variável, ou seja, ao estudar o consumo de combustível de um veículo não pode ser pensado somente na qualidade do combustível, mas deve ser pensado na alinhamento e pressão dos pneus, da temperatura, das condições da rodovia, das manutenções, da qualidade do óleo do motor, do modo como o veículo é conduzido (esta variável bem estudada resulta em economia de 30% no consumo de combustível), entre outros fatores.
Como visto na seção anterior, "geralmente" se atribui x a variável independente e y ou f(x) a variável dependente, assim, tem-se duas variáveis. Mas como é possível ter duas variáveis sendo que a seção trata de funções de uma variável?
A resposta é simples: Funções de uma variável é o nome dado às funções que possuem uma, e apenas uma, variável independente.
A área do quadrado pode ser representada por uma função de uma variável. Como a área do quadrado é a multiplicação dos dois lados, e os quatro lados são iguais, então:
$$\begin{aligned} A_Q(l)=l \cdot l = l^2 \end{aligned}$$
onde l é a medida do lado do quadrado.
A área de um retângulo é uma função de duas variáveis, pois sua área é a multiplicação de dois lados consecutivos. Como os lados do retângulo são iguais aos seus lados opostos, e não necessariamente precisam ter os quatro lados iguais, então:
$$\begin{aligned} A_R(a,b)=a \cdot b \end{aligned}$$
onde a e b são as medidas dos lados de um retângulo.
As funções lineares ou funções do primeiro grau ou funções de grau um são funções do tipo:
$$\begin{aligned} f(x) = ax +b \end{aligned}$$
Onde:
f: nome da função;
x: variável independente;
f(x): variável dependente;
a: coeficiente angular;
b: coeficiente linear.
Um ponto importante para observar é o coeficiente angular. Este valor permite identificar se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Caso a = 0, tem-se uma função constante igual a f(x) = b, ou seja, para funções do primeiro grau a condição é que (a ≠ 0)
De modo geral, uma função f(x) é crescente quando para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes ao Dom(f), se x2 > x1, então f(x2) > f(x1). Se x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1) então a função será decrescente.
Determine se a função f(x) = 2x + 4 é crescente ou decrescente.
Solução:
É possível verificar que o coeficiente angular é igual a 2 e é maior do que zero, no entanto, tomando x1 = 0 e x2 = 2 tem-se f(x1) = f(0) = 2 ⋅ 0 + 4 = 4 e f(x2) = f(2) = 2 ⋅ 2 + 4 = 8, assim, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1) logo, f(x) é crescente.
Determine se a função f(x) = − x + 4 é crescente ou decrescente.
Solução:
É possível verificar que o coeficiente angular é igual a − 1 e é menor do que zero, no entanto, tomando x1 = 0 e x2 = 2 tem-se f(x1) = f(0) = − 1 ⋅ 0 + 4 = 4 e f(x2) = f(2) = − 1 ⋅ 2 + 4 = 2, assim, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1) logo, f(x) é decrescente.
Como mencionado anteriormente, para determinar a raíz de um função é necessário fazer f(x) = 0. Como o maior grau das funções lineares é igual a "um" então, ter-se-á, apenas, uma raíz.
Calcule a raíz da função f(x) = − x + 4
Solução:
Fazendo f(x) = 0, tem-se:
$$\begin{aligned} f(x)&=0 \\ -x+4&=0 \\ -x+4-4&=0-4 \\ (-1) \cdot \,\,\,\, -x&=-4\,\,\,\, \cdot (-1) \\ x&=4 \end{aligned}$$
Assim, x = 4 é a raíz da função f(x) = − x + 4.
Em construção
As funções quadráticas ou funções do segundo grau ou funções de grau dois são funções do tipo:
$$\begin{aligned} f(x) = ax^2 +bx+c \end{aligned}$$
Onde:
f: nome da função;
x: variável independente;
f(x): variável dependente;
a, b e c: são coeficientes.
Um ponto importante para observar é o coeficiente a. Este valor permite identificar se a função possui concavidade para cima (a > 0) ou concavidade para baixo (a < 0). Caso a = 0, tem-se uma função linear igual a f(x) = bx + c, ou seja, para funções do segundo grau a condição é que (a ≠ 0).
Para o caso de funções do segundo grau, as raízes podem ser calculadas através da, tão conhecida, fórmula de Bháskara, que é:
$$\begin{aligned} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a} \end{aligned}$$
O termo dentro da raíz quadrada, b2 − 4ac, é conhecido como delta Δ.
Calcule a raíz da função f(x) = x2 − 5x + 6
Solução:
Fazendo f(x) = 0, tem-se:
$$\begin{aligned} f(x)&=0 \\ x^2-5x+6&=0 \\ \end{aligned}$$
O próximo passo é identificar os valores dos coeficientes a, b e c. Para a equação acima, tem-se:
$$\begin{aligned} a=1 \,\,\,\, b=-5 \,\,\,\, c=6 \end{aligned}$$
Determinado os valores dos coeficientes, calcula-se o valor de Δ:
$$\begin{aligned} \Delta &= b^2-4ac \\ &=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 \\ &= (-5)\cdot (-5)-24 \\ &= 25 - 24 \\ \Delta &=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\mathrm{Caso 1:}\,\, \Delta>0) \end{aligned}$$
Nesta parte, deverá ser substituído os valores dos coeficientes e o Δ calculado:
$$\begin{aligned} x &= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1} \\ &= \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow \\ x_1 &= \frac{5+1}{2}=\frac{6}{2} \Rightarrow x_1 = 3 \\ x_2 &= \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2} \Rightarrow x_2 = 2 \end{aligned}$$
Assim, as raízes podem ser representadas através do conjunto solução 𝕊 = {2, 3}
Calcule a raíz da função f(x) = x2 − 4x + 4
Solução:
Fazendo f(x) = 0, tem-se:
$$\begin{aligned} f(x)&=0 \\ x^2-4x+4&=0 \\ \end{aligned}$$
O próximo passo é identificar os valores dos coeficientes a, b e c. Para a equação acima, tem-se:
$$\begin{aligned} a=1 \,\,\,\, b=-4 \,\,\,\, c=4 \end{aligned}$$
Determinado os valores dos coeficientes, calcula-se o valor de Δ:
$$\begin{aligned} \Delta &= b^2-4ac \\ &=(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 4 \\ &= (-4)\cdot (-4)-16 \\ &= 16-16 \\ \Delta &=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\mathrm{Caso 2:}\,\, \Delta=0) \end{aligned}$$
Nesta parte, deverá ser substituído os valores dos coeficientes e o Δ calculado:
$$\begin{aligned} x &= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \frac{-(-4)\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1} \\ &= \frac{4 \pm 0}{2} \Rightarrow \\ x_1 &= \frac{4+0}{2}=\frac{4}{2} \Rightarrow x_1 = 2 \\ x_2 &= \frac{4-0}{2}=\frac{4}{2} \Rightarrow x_2 = 2 \end{aligned}$$
Assim, as raízes podem ser representadas através do conjunto solução 𝕊 = {2}
Calcule a raíz da função f(x) = x2 − 6x + 13
Solução:
Fazendo f(x) = 0, tem-se:
$$\begin{aligned} f(x)&=0 \\ x^2-6x+13&=0 \\ \end{aligned}$$
O próximo passo é identificar os valores dos coeficientes a, b e c. Para a equação acima, tem-se:
$$\begin{aligned} a=1 \,\,\,\, b=-6 \,\,\,\, c=13 \end{aligned}$$
Determinado os valores dos coeficientes, calcula-se o valor de Δ:
$$\begin{aligned} \Delta &= b^2-4ac \\ &=(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 13 \\ &= (-6)\cdot (-6)-52 \\ &= 36 - 52 \\ \Delta &=-16 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\mathrm{Caso 3:}\,\, \Delta<0) \end{aligned}$$
Nesta parte, deverá ser substituído os valores dos coeficientes e o Δ calculado:
$$\begin{aligned} x &= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \frac{-(-6)\pm \sqrt{-16}}{2\cdot 1} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot (-1)}}{2} \\ &= \frac{6\pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2} \\ &= \frac{6\pm 4 \cdot i}{2} \Rightarrow \\ x_1 &= \frac{6+4i}{2} = 3+2i \\ x_2 &= \frac{6-4i}{2} = 3-2i \\ \end{aligned}$$
Assim, as raízes podem ser representadas através do conjunto solução 𝕊 = {3 ± 2i}
Os gráficos de funções de segunda grau podem apresentar 6 formas diferentes, que são:
Caso 1: a > 0 e Δ > 0⇒ Parábola com concavidade para cima e duas raízes reais distintas;
Caso 2: a > 0 e Δ = 0⇒ Parábola com concavidade para cima e duas raízes reais iguais;
Caso 3: a > 0 e Δ < 0⇒ Parábola com concavidade para cima e duas raízes complexas;
Caso 4: a < 0 e Δ > 0⇒ Parábola com concavidade para baixo e duas raízes reais distintas;
Caso 5: a < 0 e Δ = 0⇒ Parábola com concavidade para baixo e duas raízes reais iguais;
Caso 6: a < 0
e Δ < 0⇒ Parábola com
concavidade para baixo e duas raízes
complexas;
Para fazer o gráfico é ncessário conhecer alguns pontos fundamentais
da função:
Raízes: Todas as funções do segundo grau possuem raízes, no entanto, as raízes complexas não podem ser representadas no plano real;
Vértice: Todas as funções do segundo grau possuem vértices. Os vértices nessas funções representam um ponto de extremo, que pode ser máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0);
Intercepto com o eixo vertical: Este valor
implica onde a função "corta o eixo y".
(Caso 1) Determine o gráfico da função f(x) = x2 − 5x + 6
Essa função é a mesma do Exemplo [caso1], ou seja,
as raízes já foram determinadas (x1 = 2 e x2 = 3), bem como o valor
do Δ ( = 1).
Assim, é necessário determinar o Vértice. A determinação do mesmo pode
ser feita usando:
$$\begin{aligned} x_v &= \frac{-b}{2a} \Rightarrow x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} \\ y_v &= \frac{-\Delta}{4a} \Rightarrow y_v = \frac{-1}{4 \cdot 1} = \frac{-1}{4} \\ \end{aligned}$$
Portanto, as coordenadas do Vértice são $\left (\frac{5}{2},\frac{-1}{4} \right )$.1
O último passo é verificar o intercepto com o eixo vertical, ou seja,
determinar o valor de f(x) quando x = 0, assim:
$$\begin{aligned} f(x) &= x^2-5x+6 \\ x=0 \Rightarrow f(0)&=0^2-5 \cdot 0 +6 \\ f(0) &= 6 \end{aligned}$$
Unindo as informações:
Raízes: x1 = (2,0) e x2 = (3,0)
Vértice:$\left( \frac{5}{2},\frac{-1}{4} \right)$
Intercepto: (0,6)
O gráfico fica:
(Caso 2) Determine o gráfico da função f(x) = x2 − 4x + 4
Essa função é a mesma do Exemplo [caso2], ou seja,
as raízes já foram determinadas (x1 = x2 = 2),
bem como o valor do Δ ( = 0).
Assim, é necessário determinar o Vértice (V). A determinação do mesmo
pode ser feita usando:
$$\begin{aligned} x_v &= \frac{-b}{2a} \Rightarrow x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2}=2 \\ y_v &= \frac{-\Delta}{4a} \Rightarrow y_v = \frac{-0}{4 \cdot 1} = 0 \\ \end{aligned}$$
Portanto, as coordenadas de V são (2,0).
O último passo é verificar o intercepto com o eixo vertical, ou seja,
determinar o valor de f(x) quando x = 0, assim:
$$\begin{aligned} f(x) &= x^2-4x+4 \\ x=0 \Rightarrow f(0)&=0^2-4 \cdot 0 +4 \\ f(0) &= 4\\ \end{aligned}$$
Unindo as informações:
Raízes: x1 = x2 = (2,0)
Vértice: (2,0)
Intercepto: (0,4)
Das informações anteriores, é possível verificar que as raízes (x1 e x2) têm a mesma
coordenada que V, ou seja, (2,0). O
processo, nesse caso, fica um pouco complicado pois, na realidade,
existem dois pontos apenas: o intercepto e o ponto (2,0).
Para resolver esse problema, deve ser escolhido dois valores para x, calcular suas imagens (f(x)) e usá-los como
complemento2. Assim, escolhendo x3 = 1 e x4 = 3, tem-se:
$$\begin{aligned} x_3=1 \Rightarrow f(1) &= 1^2-4 \cdot 1 +4 = 1 \\ x_4=3 \Rightarrow f(3) &= 3^2-4 \cdot 3 +4 = 1 \\ \end{aligned}$$
É possível chamar essas coordenadas calculadas, de pontos, A e B, sendo assim, A = (1,1) e B = (3,1)
Logo, o gráfico fica:
(Caso 3) Determine o gráfico da função f(x) = x2 − 6x + 13
Essa função é a mesma do Exemplo [caso3], ou seja,
as raízes já foram determinadas (x1 = 3 − 2i e
x2 = 3 + 2i),
bem como o valor do Δ ( = − 16).
A determinação do vértice pode ser feita usando:
$$\begin{aligned} x_v &= \frac{-b}{2a} \Rightarrow x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \\ y_v &= \frac{-\Delta}{4a} \Rightarrow y_v = \frac{-(-16)}{4 \cdot 1} = \frac{16}{4}=4 \\ \end{aligned}$$
Portanto, as coordenadas do Vértice são (3,4)).
O último passo é verificar o intercepto com o eixo vertical, ou seja,
determinar o valor de f(x) quando x = 0, assim:
$$\begin{aligned} f(x) &= x^2-6x+13 \\ x=0 \Rightarrow f(0)&=0^2-6 \cdot 0 +13 \\ f(0) &= 13 \end{aligned}$$
Unindo as informações:
Raízes: x1 = 3 − 2i e x2 = 3 + 2i
Vértice: (3,4)
Intercepto: (0,13)
Das informações anteriores, é possível verificar que as raízes (x1 e x2) pertencem aos
conjunto dos números complexos e não tem representação no plano real. O
processo, nesse caso, fica um pouco complicado pois, na realidade,
existem dois pontos apenas: o intercepto e o vértice (3,4).
Para resolver esse problema, deve ser escolhido dois valores para x, calcular suas imagens (f(x)) e usá-los como
complemento. Assim, escolhendo x3 = 2 e x4 = 4, tem-se:
$$\begin{aligned} x_3=2 \Rightarrow f(2) &= 2^2-6 \cdot 2 +13 = 5 \\ x_4=4 \Rightarrow f(4) &= 4^2-6 \cdot 4 +13 = 5 \\ \end{aligned}$$
É possível chamar essas coordenadas calculadas, de pontos, A e B, sendo assim, A = (2,5) e B = (4,5)
O gráfico fica:
Os casos em que o valor de a forem menores que zero, o processo é semelhante, no entanto, o resultado será uma parábola com a concavidade para baixo.
Qual a diferença entre Equação e Função?
Resolva a equação x2 + 4 = 0 considerando os conjuntos:
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
ℂ
Calcule as raízes das funções abaixo e represente graficamente.
f(x) = 3x − 6
g(x) = x2 − 5x + 6
f(y) = 5x − 2
f(x) = x2 − 4x + 4
g(w) = w2 + 4