Um espaço métrico é um par \((M, d)\) onde \(M\) é um conjunto não vazio e \(d: M \times M \to \mathbb{R}\) é uma função (distância) que satisfaz, para quaisquer \(x, y, z \in M\):
\[ \begin{aligned} &\text{(i) } d(x, y) \ge 0 \text{ e } d(x, y) = 0 \text{ se e somente se } x = y \quad \text{(identidade dos indiscerníveis)}\\ &\text{(ii) } d(x, y) = d(y, x) \quad \text{(simetria)}\\ &\text{(iii) } d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) \quad \text{(desigualdade triangular)} \end{aligned} \]
Esta estrutura abstrai a noção de proximidade e permite tratar de limites, continuidade e bolas abertas sem depender de coordenadas.
A reta real \(\mathbb{R}\) com \(d(x,y) = |x - y|\) é o exemplo mais imediato. No plano \(\mathbb{R}^2\) podemos definir diferentes métricas.
A métrica euclidiana (a usual do plano) é dada por:
\[ d_E((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. \]
A métrica do taxista (ou de Manhattan) é definida por:
\[ d_T((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|. \]
Estendendo para o espaço tridimensional, a métrica do taxista torna-se:
\[ d_T((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2| + |z_1-z_2|. \]
Num espaço métrico, a bola aberta de centro \(c\) e raio \(r\) é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é menor que \(r\): \(B(c,r) = \{ p \in M : d(c,p) < r \}\).
Na métrica do taxista em \(\mathbb{R}^2\) a bola unitária centrada na origem é:
\[ B_T((0,0),1) = \{ (x,y) : |x| + |y| < 1 \}. \]
Este conjunto é um quadrado rodado de 45° (um losango) com vértices em \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\) e \((0,-1)\).
Em \(\mathbb{R}^3\) com a métrica do taxista, a bola unitária é:
\[ B_T((0,0,0),1) = \{ (x,y,z) : |x| + |y| + |z| < 1 \}. \]
Este conjunto é um octaedro regular: tem 8 faces triangulares, 6 vértices (nos eixos coordenados) e 12 arestas. É o poliedro dual do cubo.
A geometria que descreve o espaço físico é a geometria euclidiana, baseada na métrica:
\[ d_E((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}. \]
Neste contexto, as bolas são esferas perfeitamente redondas. Os objetos tridimensionais estudados são os sólidos geométricos, cujos volumes são dados por fórmulas clássicas.
Cubo de aresta \(a\): todas as faces são quadrados.
\[ V_{\text{cubo}} = a^3 \]
Arestas \(a, b, c\) (comprimento, largura, altura).
\[ V_{\text{paralelepípedo}} = a \cdot b \cdot c \]
Raio \(R\).
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \]
Raio da base \(R\), altura \(h\).
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi R^2 h \]
Raio da base \(R\), altura \(h\).
\[ V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h \]
Aresta \(a\). (O mesmo poliedro que surge na métrica do taxista, agora considerado na geometria euclidiana.)
\[ V_{\text{octaedro}} = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \]
Área da base \(A_b\), altura \(h\).
\[ V_{\text{ pirâmide}} = \frac{1}{3} A_b h \]
Área da base \(A_b\), altura \(h\).
\[ V_{\text{prisma}} = A_b h \]
A métrica do taxista mostrou como a noção de "bola" pode variar conforme a definição de distância, produzindo um octaedro onde esperaríamos uma esfera. Na geometria euclidiana, recuperamos as formas familiares e as fórmulas de volume que há séculos são usadas para descrever o espaço à nossa volta.
(As soluções estão ao final de cada seção.)
Exercício 1.1 — Considere o conjunto \(\mathbb{R}\) com a função distância \(d(x,y) = (x-y)^2\). Verifique se \(d\) satisfaz a desigualdade triangular. Caso não satisfaça, apresente um contraexemplo.
Exercício 1.2 — Seja \(M = \{A, B, C\}\) (três letras). Defina \(d(A,A)=0\), \(d(B,B)=0\), \(d(C,C)=0\), \(d(A,B)=d(B,A)=2\), \(d(A,C)=d(C,A)=3\), \(d(B,C)=d(C,B)=5\). Mostre que \((M,d)\) é um espaço métrico.
Solução 1.1 — Não vale a desigualdade triangular. Contraexemplo: tome \(x=0\), \(y=1\), \(z=2\). Temos \(d(0,2) = (0-2)^2 = 4\). \(d(0,1) = 1\) e \(d(1,2) = 1\); soma = 2. Exige-se \(4 \le 2\)? Falso. Portanto não é métrica.
Solução 1.2 —
(1) \(d(p,q) \ge 0\) e zero só quando \(p=q\): ok por definição.
(2) Simetria: ok pois foi definida simétrica.
(3) Desigualdade triangular: testamos todas combinações:
\(d(A,B)=2 \le d(A,C)+d(C,B)=3+5=8\);
\(d(A,C)=3 \le d(A,B)+d(B,C)=2+5=7\);
\(d(B,C)=5 \le d(B,A)+d(A,C)=2+3=5\) (vale igual).
As demais são análogas. Satisfaz.
Exercício 2.1 — Dados \(P=(1,2)\) e \(Q=(4,6)\), calcule:
a) a distância euclidiana \(d_E(P,Q)\);
b) a distância do taxista \(d_T(P,Q)\).
Exercício 2.2 — Desenhe mentalmente a “bola” (disco) de centro na origem e raio 2 na métrica do taxista. Quais as coordenadas dos vértices desse losango?
Solução 2.1 —
a) \(d_E = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5\).
b) \(d_T = |4-1| + |6-2| = 3 + 4 = 7\).
Solução 2.2 — A equação é \(|x|+|y| < 2\). Os vértices estão nos eixos: \((2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2)\). É um losango com diagonais sobre os eixos.
Exercício 3.1 — Na métrica do taxista em \(\mathbb{R}^3\), considere a “esfera” de raio 1 (superfície da bola). Quais são os seis vértices desse octaedro?
Exercício 3.2 — O ponto \(P = (1, 1, 1)\) pertence à bola de centro na origem e raio 2 na métrica do taxista? E na métrica euclidiana?
Solução 3.1 — Os vértices do octaedro são os pontos onde duas coordenadas são zero e a terceira vale \(+1\) ou \(-1\): \((1,0,0)\), \((-1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,-1,0)\), \((0,0,1)\), \((0,0,-1)\).
Solução 3.2 —
Na métrica do taxista: \(d_T((0,0,0), (1,1,1)) = |1|+|1|+|1| = 3\).
Como \(3 > 2\), o ponto não pertence à bola do taxista.
Na métrica euclidiana: \(d_E = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} \approx 1,73\).
Como \(\sqrt{3} < 2\), o ponto pertence à bola euclidiana de raio 2.
Exercício 4.1 — Calcule o volume de um cubo de aresta \(a = 5\) cm.
Exercício 4.2 — Uma esfera tem raio \(R = 3\) m. Qual o seu volume? (Use \(\pi \approx 3,14\))
Exercício 4.3 — Um cilindro circular reto tem raio da base \(R = 2\) cm e altura \(h = 7\) cm. Determine seu volume.
Exercício 4.4 — Um cone reto tem raio da base \(R = 3\) cm e altura \(h = 6\) cm. Calcule o volume.
Exercício 4.5 — Um octaedro regular tem aresta \(a = 2\) cm. Lembrando que a fórmula do volume é \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3\), calcule o volume (use \(\sqrt{2} \approx 1,41\)).
Exercício 4.6 — Uma pirâmide de base quadrada tem lado da base \(l = 4\) m e altura \(h = 9\) m. Calcule seu volume.
Exercício 4.7 — Um prisma reto de base triangular tem área da base \(A_b = 6\) cm² e altura \(h = 10\) cm. Qual o seu volume?
Solução 4.1 — \(V = a^3 = 5^3 = 125\) cm³.
Solução 4.2 — \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3,14 \times 27 = \frac{4}{3} \times 84,78 = 113,04\) m³.
Solução 4.3 — \(V = \pi R^2 h = 3,14 \times 4 \times 7 = 3,14 \times 28 = 87,92\) cm³.
Solução 4.4 — \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 9 \times 6 = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 54 = 3,14 \times 18 = 56,52\) cm³.
Solução 4.5 — \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \approx \frac{1,41}{3} \times 8 = 0,47 \times 8 = 3,76\) cm³.
Solução 4.6 — Área da base \(A_b = l^2 = 4^2 = 16\) m². \(V = \frac{1}{3} A_b h = \frac{1}{3} \times 16 \times 9 = 16 \times 3 = 48\) m³.
Solução 4.7 — \(V = A_b \cdot h = 6 \times 10 = 60\) cm³.
Exercício 5.1 — Considere a métrica do taxista em \(\mathbb{R}^3\). Qual deve ser o raio \(r\) (segundo essa métrica) para que a bola de centro na origem contenha exatamente o ponto \((2,1,1)\) em sua superfície? Qual seria o volume do octaedro correspondente (use a fórmula do octaedro euclidiano com essa aresta)?
Na métrica do taxista, a distância de \((0,0,0)\) a \((2,1,1)\) é \(|2|+|1|+|1| = 4\). Portanto o raio deve ser \(r = 4\). A “bola” é o conjunto \(\{ (x,y,z) : |x|+|y|+|z| \le 4 \}\). A superfície é um octaedro cujos vértices estão em \((\pm4,0,0)\), \((0,\pm4,0)\), \((0,0,\pm4)\). A aresta \(a\) desse octaedro (distância entre dois vértices vizinhos, como \((4,0,0)\) e \((0,4,0)\)) é \(\sqrt{(4-0)^2+(0-4)^2+(0-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). O volume do octaedro regular euclidiano com aresta \(a\) é \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3\). Substituindo \(a = 4\sqrt{2}\): \(a^3 = (4\sqrt{2})^3 = 64 \cdot (\sqrt{2})^3 = 64 \cdot 2\sqrt{2} = 128\sqrt{2}\). Portanto \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 128\sqrt{2} = \frac{128 \cdot 2}{3} = \frac{256}{3} \approx 85,33\) unidades de volume.