\[ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]
\[ 1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Portanto, a base é verdadeira.
Suponha que a fórmula vale para \(n = k\):
\[ 1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Queremos mostrar que:
\[ 1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \]
Pela hipótese de indução:
\[ [1 + 2 + \dots + k] + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \]
Colocando \((k+1)\) em evidência:
\[ = (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = (k+1) \cdot \frac{k + 2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \]
Que é exatamente a fórmula para \(n = k+1\).
Pelo princípio da indução finita, a igualdade vale para todo \(n \in \mathbb{N}^*\).